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D題 接觸式輪廓儀的自動標注

輪廓儀是一種兩坐標測量儀器（見圖1），它由工作平臺、夾具、被測工件、探針、傳感器和伺服驅動等部件組成（見圖2）。

圖1 某種型號的接觸式輪廓儀 圖2 接觸式輪廓儀的示意圖

接觸式輪廓儀的工作原理是，探針接觸到被測工件表面并勻速滑行，傳感器感受到被測表面的幾何變化，在X和Z方向分別采樣，并轉換成電信號。該電信號經放大等處理，轉換成數字信號儲存在數據文件中（見圖3）。

(a) 接觸式輪廓儀測量示意圖 (b) 數據文件中的數字信號

圖3  接觸式輪廓儀的工作原理

在理想狀況下，輪廓曲線應該是光滑的，但由于接觸式輪廓儀存在探針沾污、探針缺陷、掃描位置不準等問題，檢測到的輪廓曲線呈現出粗糙不平的情況（見圖3(b)中的局部放大圖），這給工件形狀的準確標注帶來影響。

為了簡化問題，假設被測工件的輪廓線是由直線和圓弧構成的平面曲線（見圖4）。請建立數學模型，并根據附件1（工件1的水平和傾斜測量數據）、附件2～附件4（工件2的多次測量數據）所提供的輪廓儀測量數據，研究下列問題：

問題1．附件1中的表level是工件1在水平狀態下的測量數據，其輪廓線如圖4所示，請標注出輪廓線的各項參數值：槽口寬度（如等）、圓弧半徑（如等）、圓心之間的距離（如等）、圓弧的長度、水平線段的長度（如等）、斜線線段的長度、斜線與水平線之間的夾角（如等）和人字形線的高度（）。

圖4 工件1在水平狀態下測量的輪廓線

問題2．同一工件在不同次測量時，由于工件放置的角度和位置不同，輪廓線參數的計算值也會存在差異。附件1中的表down給出了工件1在傾斜一個角度和有一些水平位移狀態下輪廓線的測量數據。請計算該工件測量時的傾斜角度，并作水平校正。在數據校正后，完成問題1的任務，并比較兩種測量狀態下工件1各項參數計算值之間的差異。

問題3．在對工件作多次檢測時，工件每次放置的角度、測量的起點和終點都會有偏差，這導致了每次測量實際是對整個工件中的某一部分進行檢測。附件2提供了對工件2的10次測量數據，請基于這些數據完成：(1) 每次測量時工件2的傾斜角度；(2) 標注出工件2輪廓線的各項參數值（同問題1）；(3) 畫出工件2的完整輪廓線。

問題4．為了更準確地標注出工件2的各項參數值，附件3和附件4分別提供了工件2關于圓和角的9次局部測量數據，請利用這些數據修正問題3的結論，并對該工件的完整輪廓線作進一步修正。

E題   校園供水系統智能管理

校園供水系統是校園公用設施的重要組成部分，學校為了保障校園供水系統的正常運行需要投入大量的人力、物力和財力。隨著科學技術的發展，校園內已經普遍使用了智能水表，從而可以獲得大量的實時供水系統運行數據。后勤部門希望基于這些數據，通過數學建模和數據挖掘及時發現和解決供水系統中存在的問題，提高校園服務和管理水平。

附件是某校區水表層級關系以及所有水表四個季度的讀數(以一定時間為間隔，如15分鐘)與相應的用水數據。請利用這些信息和數據，建立數學模型，討論以下問題：

1. 統計、分析各個水表數據的變化規律，并給出校園內不同功能區（宿舍、教學樓、辦公樓、食堂等）的用水特征。

2. 結合校區水表層級關系，建立水表數據之間的關系模型，并利用已有數據分析模型誤差。

3. 輸水管網的漏損是一個嚴重問題。資料顯示，在維護良好的公共供水網絡中，平均失水在5%左右；而在比較老舊的管網中，失水則會更多。請利用附件提供的數據，建立數學模型，分析該校園供水管網的漏損情況。

4. 地下水管暗漏不容易被發現，需要花費大量人力對供水管道的漏損進行檢測及定位，如果能夠從水表的實時數據及時發現并確定發生漏損的位置，將極為有益。請幫助學校解決這個問題。

5. 管網維修需要一定的人工費和材料費，但同時可以降低管網漏損程度。請根據以上結果和你了解的水價及維修成本確定管網漏損的最優維修決策方案。